ПИФАГОРЕЙСКАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Учение Пифагора известно лишь в пересказах Аристотеля и Платона.
Аристотель писал: «Пифагор признал математические начала за начала всего
сущего».
Философская истина переносится им на музыку и числа. Число понимается
как термин, приложимый ко всем цифрам и их комбинациям. Пифагор определял число
как энергию и считал, что через науку о числах раскрывается тайна Вселенной,
ибо число заключает в себе тайну вещей.
Именно наука о числе может обладать ключом жизни и сути бытия. Проникая
в свойства чисел, объясняя их различные сочетания, Пифагор пытался создать
науку всех наук. Все числа он разделил на два вида: четные и нечетные, и с
удивительной чуткостью выявил свойства чисел каждой группы.
Четные числа обладают следующими свойствами: любое число может быть
разделено на две равные части, обе из которых либо четны, либо нечетны.
Например, 14 делится на две равные части 7 + 7, где обе части нечетные; 16 = 8
+ 8, где обе части четные. Пифагорейцы рассматривали четное число, прототипом
которого была дуада, неопределенным и женским. «Четные числа, допускавшие
раздвоение, казались более разумными, олицетворяли некоторое положительное
явление», - писал Аристотель. Так число получало характер, теряло вечное,
абстрактное начало.
Четные числа Пифагор делили на 3 класса: четно-четные, четно-нечетные, нечетно-нечетные.
Первый класс составляют числа, которые представляют собой удвоение
чисел, начиная с единицы. Таким образом, это 1,2,4,8,16,32,64,128,512 и 1024.
Совершенство этих чисел Пифагор видел в том, что они могут делиться
пополам еще раз, и так далее до получения единицы.
Четно-четные числа обладают некоторыми уникальными свойствами. Сумма
любого числа терминов, кроме последнего, всегда равна последнему за вычетом
единицы. К примеру, сумма четырех терминов (1+2+4+8) равна пятому термину - 16
минус один, то есть 15.
Ряд четно-четных чисел имеет и
такое свойство: первый член, умноженный на последний, дает последний пока в
ряду с нечетным числом терминов не останется одно число, которое будучи
умножено само на себя даст последнее число в ряду.
Четно-нечетные числа - это числа, которые, будучи разделены пополам, не делятся.
Они образуются следующим образом: берется нечетное число, умножается на 2, и
так весь ряд нечетных чисел. В этом процессе 1,3,5,7,9,11 дают четно- нечетные
числа 2,6,10,14,18,22. Таким образом, каждое такое число делится на два один
раз и больше делиться не может. Другая
особенность этого класса чисел состоит в том, что если делитель - нечетное
число, частное – всегда будет четным, и наоборот. Например, если 22 разделить
на 2, четный делитель, частное 11 будет нечетно.
Данный класс чисел примечателен еще и тем, что любое число в ряду
является половиной суммы терминов по обе стороны его в ряду: 18 есть 1/2 суммы
14 и 22 (чисел стоящих от данного числа по обе стороны).
Нечетно-нечетные числа является компромиссными между четно-четными и
четно- нечетными числами. В отличие от четно-четных они не могут
последовательным делением привести к 1,
и в отличие от четно-нечетных они позволяют более чем однократное деление
пополам. Нечетно-нечетные числа получаются следующим образом: умножая
четно-четное число (больше 2) на нечетное число. Другие нечетно-нечетные числа
образуются умножением ряда нечетных чисел на 4 и далее на весь ряд четно-четных
чисел.
Четные числа разделяются на три других класса: сверхсовершенные, несовершенные
и совершенные.
Сверхсовершенные числа - это такие числа, сумма делителей которых больше
их самих. Например, 24 имеет суммой своих делителей 12+6+4+8+3+2+1 число 33,
что превышает 24, исходное число.
Несовершенными Пифагор называл числа, сумма делителей которых меньше его
самого. Например, число 14 сумма его делителей 7+2+1=10, что меньше 14.
Совершенное число - это такое число, сумма делителей которого равна самому
числу. Такие числа чрезвычайно редки. Есть только одно число между 1 и 10, а
именно 6; одно между 10 и 100 - число 28, одно между 100 и 1000 - 496, одно
между 1000 и 10000 - 8128. Совершенные числа находят следующим образом: первое
число ряда четно-четных чисел складывается со вторым числом ряда, и если
получается простое число, оно умножается на последнее число ряда четно- четных
чисел, участвовавших в образовании суммы. Если сложение четно-четных чисел не
приводит к несоставному числу. Например, первые два числа четно- четного ряда
(1,2) в сумме 3, которое умножается на 2 и получаем 6, первое совершенное
число. Совершенные числа, будучи умноженными на 2, дают сверхсовершенные числа,
а будучи разделенными пополам - несовершенные.
Пифагорейцы развивали свою философию из науки о числах. Совершенные
числа, считали они, есть прекрасные образы добродетелей. Они представляют собой
середину между излишеством и недостатком. Они очень редки и порождаются совершенным
порядком. В противоположность этому сверх-изобильные и несовершенные числа,
которых сколь угодно много, не расположены в порядке и не порождаются с
некоторой определенной целью. И поэтому они имеют большое сходство с пороками,
которые многочисленны, неупорядочены и не определены.
Нечетные числа не могут быть разделены равным образом, то есть поровну.
Пифагор объяснял неспособность таких чисел делится пополам следующим
образом: поскольку 1 всегда остается не делимой, нечетное число таким же
образом не может быть делимым. Если нечетное число попытаться разделить
поровну, то получается два четных числа, а последнее из них единица, которая
является неделимой. Например, 9 есть 4+4+1.
Нечетные числа имеют и такое
свойство - если какое-либо нечетное число разделить на две части, одна всегда
будет четной, а другая - всегда нечетной.
Пифагорейцы рассматривали нечетное число, прототипом которого была
монада, определенным и мужским, хотя по поводу 1 (единицы) среди них
существовали определенные разногласия. Некоторые считали его положительным,
потому что, если его добавить к нечетному число, оно станет четным и, таким
образом, рассматривается как андрогенное число, совмещающие как мужские, так и
женские атрибуты, значит оно и четно и нечетно.
Обычаем у пифагорцев было приношение высшим богам нечетного числа
предметов, в то время как богиням и подземным духам приносить четное число.
Нечетные числа делятся на 3 класса: несоставные, составные и несоставные
- составные.
Несоставные числа - это такие числа, которые не имеют других делителей,
кроме себя самого и единицы. Это числа
3,5,7,11,13,17 и т.д.
Составные числа - это числа, делимые не только сами на себя, но и на некоторые
другие числа. Такими числами являются те из нечетных чисел, которые не входят в
группу несоставных. Это числа 9,15,21,25,27,33,39 и т.д.
Несоставные-составные числа - эта числа, не имеющие общего делителя,
хотя каждое из них делимо. Если взять два числа и обнаружить, что они не имеют общего
делителя, такие числа можно назвать несоставными-составными числами.
Например, числа 9 и 25. 9 делимо на 3, а 25 на 5, но ни одно из них не
делимо на делитель другого, они не имеют общего делителя.
Несоставными-составным они называются потому, что каждое из них имеет
индивидуальный делитель, а поскольку эти числа не имеют общего делителя, они
называются несоставными.
Таким образом, несоставные-составные числа обнаруживаются только попарно
друг с другом.
ТАБЛИЦА ДЕСЯТИ ЧИСЕЛ
Монада, или Священная Единица, называется
так потому, что всегда остается в одном и том же состоянии, то есть отделенной
от множественности. Монада означает:
1. все - включающее Единое;
2. сумму любых комбинаций чисел,
рассматриваемую как целое.
Таким образом, Вселенная рассматривается как Монада, но индивидуальные
части по отношению к частям, из которых они состоят. Некоторые пифагорейцы рассматривали
Монаду как синоним единого. Ее атрибутами они называли следующее: она - четна и
нечетна, она есть Бог, потому что является началом и концом всего, она также
есть вместилище материи, потому что производит дуаду, которая существенно
материальна. Монада для пифагорейцев тождественна великой силе, сосредоточенной
в центре Вселенной и контролирующей движение планет вокруг себя. Она называется
также зачаточным разумом, потому что является началом всех мыслей во Вселенной.
Монада сравнивается с вечностью, которая не знает ни прошлого, ни будущего. Она
называется любовью, согласием и благочестием, потому что неделима. Монада есть
причина истины и структура симфонии - все это потому, что она изначальна.
Дуада
олицетворяет собой неравенство, нестабильность, подвижность, дерзость (потому
что является первым числом, отделившим себя от божественного Единого). Дуада
есть символ Великой Материи.
Пифагорейцы чтили монаду и презирали дуаду, так как считали, что она символизирует
полярность и невежество. В ней существует смысл разделенности, который есть
начало невежества. От дуады идут споры и соперничество, пока введением монады
не восстанавливается равновесие.
Триада - это
первое равновесие единиц, это первое число, которое по- настоящему нечетно.
Число 3 сравнивается пифагорейцами с мудростью, потому что люди организуют
настоящее, предвидят будущее и используют опыт прошлого. Триада есть число
познания музыки, геометрии, астрономии и науки о небесных и земных телах. Куб
этого числа имеет силу лунного цикла.
Пифагор учил, что
триада - священное число, потому что она создается из монады (Божественного
Отца) и дуады (Великой Матери) и, следовательно, является андрогенной. Она
символизирует тот факт, что Бог порождает свои меры из себя, и Его творческий
аспект символизируется треугольником. Древний философ говорил также, что все в природе
разделено на три части, и, что никто не может стать воистину мудрым, пока не
будет представлять каждую проблему в виде треугольной диаграммы.
Тетрада, 4,
рассматривалась как изначальное, всему предшествующее число, корень всех вещей
и наиболее совершенное из чисел. Все тетрады интеллектуальны, из них возникает
порядок. Пифагор представлял себе тетраду символом Бога, потому что она символ первых четырех чисел, из которых состоит декада.
Душа человека, считал древний философ, состоит из тетрады, а именно из четырех
сил: ума, науки, мнения и чувства.
Тетраде даны следующие имена:
«сила», «стремительность», «мужество», «держатель ключа к Природе», так как она
связывает все вещи, числа, элементы.
Пентада, 5, есть союз четного и нечетного
чисел (2 и 3). Она называлась равновесием, потому что разделяет совершенное
число 10 на две равные части. Для пифагорейцев пентада олицетворяла собой
жизненность и здоровье, символом которых была пятиконечная звезда. Пентада есть
символ Пироды, потому что, будучи умножена сама на себя, она возвращает при
этом свое исходное число как последнюю цифру в произведении, точно так же как
зерна пшеницы проходят через Природный процесс и воспроизводят семена пшеницы в
виде окончательной формы своего собственного роста.
Гексада, 6, представляет сотворение мира. Она называлась
пифагорейцами совершенством всех частей. Гексада является символом женитьбы,
потому что образует союз двух треугольников, женского и мужского. Ключевыми
словами к гексаде являются следующие: «время»,
поскольку она является измерителем длительности; «панацея», потому что
здоровье есть равновесие, а гексада есть равновесное число.
Гептада, 7, называется пифагорейцами
числом «религий», потому что у многих древних народов она является священным
числом. Пифагор придавал большую важность числу 7, которое, состоя из 3 и 4,
означает соединение человека с божеством, изображение закона эволюции.
Мистическая природа человека состоит из тройного духовного тела и
четырехсоставной материальной формы, которые символизированы в кубе, имеющем
шесть граней и таинственную седьмую точку внутри. Шесть граней – это
направления частей света или же направления шести стихий: земли, воздуха, огня,
воды, духа, и материи. В середине стоит 1, которая представляет фигуру стоящего
человека, от центра которого в кубе расходятся шесть пирамид. Отсюда происходит
великая оккультная аксиома: «Центр – отец всех направлений, измерений и
расстояний».
Огдоада, 8, была священной, потому что это число первого куба,
который имеет 8 вершин и является четно-четным числом, наиболее близким к 10.
Восемь делиться на две четверки, каждая четверка на двойки, каждая двойка
делиться на единицы, таким образом восстанавливая монаду. Слова «любовь»,
«совет», «расположение», «закон» и «согласие» являются ключевыми к огдоаде.
Огдоада заимствует свою форму от двух переплетенных змей на Кадуцее Гермеса и частично
от извилистого движения небесных тел.
Эннеада, 9, есть первый квадрат нечетного
числа. Эннеада ассоциируется у пифагорейцев с ошибками и недостатками, потому
что ей не достает до совершенного числа 10 одной еденицы. Она называется числом
человека из-за девяти месяцев его эмбрионного развития. Эннеада – это и
безграничное, и ограниченное число. Безграничной оно называется потому, что за
ним ничего нет, кроме бесконечного числа 10. Ограниченной – так как собирает
все цифры внутри себя.
Декада, 10, образуемая из сложения первых четырех чисел и
заключающая в себе число 7, есть самое совершенное число, число всех вещей,
архетип Вселенной. Пифагор говорил, что декада выражает все начала божества,
слившихся в одном единстве. Она называлась и небом, и миром. Декада объемлет
все арифмитические и геометрические пропорции. Она совершенствует все числа и
объемлет в своей природе четные и нечетные, добрые и злые. Поэтому декала есть
природа числа, так как все народы приходят к ней, и когда они приходят к ней,
они возвращаются к монаде.
Мистика цифр оказалась живучей и дожила до наших дней. Много веков
спустя после смерти Пифагора люди изобрели «чертову дюжину», объявили 12 знаком
счастья, а 666 нарекли числом зверя.
СИММЕТРИЧНЫЕ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА
Пифагор учил, что точка символизирует число 1, линия - число 2,
плоскость - число 3, и
многогранники - число 4.
«Симметричные геометрические тела имели для пифагорейцев и последующих
греческих мыслителей величайшее значение. Для того, чтобы быть совершенно
симметричным, геометрическое тело должно иметь равное число граней,
встречающихся в углах, и эти грани должны быть правильными многоугольниками, то
есть фигурами с равными сторонами и углами.
Пифагор, вероятно, был первым, кто сделал величайшее открытие, что есть
только пять таких тел...
Греки полагали, что мир состоит из четырех элементов: земли, воздуха,
огня и воды, - и греческий ум неизбежно пришел к заключению, что формами частиц
или элементов были правильные геометрические тела. Земные частицы были кубами,
и куб, будучи правильным геометрическим телом, обладал величайшей устойчивостью.
Огненные частицы были тетраэдрами; тетраэдр был наипростейшим из правильных тел
и поэтому самым легким. Водные частицы были икосаэдрами в силу того же
принципа, и воздушные частицы, будучи промежуточными между двумя последними,
были октаэдрами. Додекаэдр для античных математиков был наиболее таинственным
из всех геометрических тел. Его труднее всего было сконструировать, одной из
причин чего была необходимость аккуратно вычерчивать пятиугольник, пентагон,
используя при этом великую теорему Пифагора. Отсюда и заключение Платона о том,
что это (правильный додекаэдр) Божество использовало для планирования Вселенной»
(Х. Редгроув «Ушедшие веры»).
К пяти симметричным правильным телам древних добавлена сфера (1),
наиболее совершенная из всех сотворенных форм. Пять пифагорейских тел таковы:
тетраэдр (2) с четырьмя гранями, которые являются равносторонними
треугольниками, куб (3) с шестью гранями-квадратами, октаэдр (4) с восьмью
гранями - равносторонними треугольниками, икосаэдр (5) с двадцатью гранями -
правильными пятиугольниками.
Редгроув не упомянул пятый элемент древних Мистерий, который мог бы
сделать более полной аналогию между симметричными геометрическими телами и
элементами. Пятый элемент, эфир, был назван индусами акаса. Он находится в
тесной связи с гипотетическим эфиром современной науки. Эфир является
проницаемой субстанцией, пронизывающей все остальные элементы и действующей как
общий для них растворитель и общий знаменатель. В правильном геометрическом
теле с двенадцатью гранями следует усматривать тонкую аналогию с Двенадцатью Бессмертными,
покрывающими Вселенную, а в двенадцати извилинах человеческого мозга -
присутствие этих Бессмертных в человеческой природе.
Хотя Пифагор, как и его современники, практиковал гадание (возможно,
арифмоманию), нет точной информации относительно использовавшихся им методов. У
него, как говорили, было замечательное колесо фортуны, с помощью которого он
мог предсказывать будущее и весьма отдаленные события. Еще Пифагор изучал
гидроманию у египтян. Он верил в то, что медь имеет пророческие свойства, потому,
что даже когда все вокруг спокойно, в медной чаше слышалось грохотанье. Он
однажды обратился с молитвой к духу реки, и из воды послышался голос: «Пифагор,
я приветствую тебя». Говорят, что он мог заставить демонов входить в воду и
мутить ее и через такое действо, глядя на рябь, мог предсказывать некоторые
вещи.
Однажды, отпив из источника, один из пифагорейских Мастеров заявил, что
дух воды предсказал на следующий день страшное землетрясение - пророчество
исполнилось. В высшей степени, вероятно, что Пифагор обладал гипнотической
властью не только над людьми, но и над животными. Он заставлял птиц изменять
направление полета, медведя - прекращать набеги на жилища, а быка - менять
пищу, и все это чисто умственным усилием. Он также имел дар второго зрения,
будучи способен видеть вещи на большом удалении и точно описывать события,
которые еще не произошли.
ПИФАГОРЕЙСКАЯ АСТРОНОМИЯ
Пифагор был первым,
кто назвал Вселенную «Космосом» по причине той упорядоченности, которая ему
присуща. Согласно Пифагору, положение
каждого тела во вселенной определяется его достоинствами.
Бытовавшая в его дни концепция говорит о том, что Земля занимает
центральное положение в солнечной системе, что планеты, включая Солнце и Луну,
движутся вокруг Земли, что Земля плоская и квадратная. В противоположность
этому, не обращая внимания на критику, Пифагор говорил, что огонь является
наиважнейшим из всех элементов, что центр является наиболее важной частью
каждого тела и что точно так, как огонь Весты находится в середине дома, так и
середина Вселенной представляет пылающую сферу небесного сияния. Этот
центральный шар он назвал Замком Юпитера, или Шаром Единства, Великой Монадой,
или Алтарем Весты. Так как число 10, будучи священным, символизирует сумму всех
частей и завершенность всех вещей, для Пифагора было вполне естественным
разделить Вселенную на десять сфер, символизируемых десятью концентрическими
окружностями. Центр этих окружностей был в центре шара Божественного Огня;
затем шли семь планет, Земля, еще одна таинственная планета, называемая
Антихтоном, которая никогда не бывает видимой.
Существуют различные точки зрения на природу Антихтона. Клемент
Александрийский полагал, что он представляет массу небес, другие же полагали,
что он есть Луна. Более вероятно, что это была таинственная восьмая сфера
древних, которая двигалась по той же самой орбите, что и Земля, но которая была
всегда скрыта от Земли Солнцем, будучи все время точно противоположной Земле на
орбите. Не есть ли это та самая Лилит, о которой столь долго спорили астрологи?
Исаак Майер утверждает следующее: «Пифагорейцы полагали, что каждая
звезда была миром с окружающей ее атмосферой из эфира». Ученики Пифагора высоко
чтили планету Венеру, потому что она была единственной планетой, достаточно
яркой, чтобы отбрасывать тень. Как утренняя звезда Венера была видна еще до
восхода солнца, а как вечерняя звезда она сияла сразу после солнечного заката.
Из-за этих свойств ей давалось древними много имен. Будучи видимой в небе при
закате, она называлась Vesper, а поскольку она всходила перед солнцем, она
называлась ложным светом, утренней звездой или Люцифером, что означает носитель
света. Из-за этого отношения с солнцем планета также называлась Венерой,
Астартой, Афродитой, Исидой и Матерью Богов. В некоторые времена года на
некоторых широтах серп Венеры можно видеть без телескопа. С этим фактом можно
связать часто встречающееся изображение античной богини с серпом, и нужно иметь
в виду, что фазы Венеры не совпадали с фазами Луны. Точное знание астрономии,
которым обладал Пифагор, он без всяких сомнений, заимствовал из египетских
храмов, потому что их жрецы прекрасно понимали истинное соотношение небесных
тел за тысячи лет до того, как это знание было открыто непосвященному миру.
Именно факт, что приобретенное им знание позволило ему делать утверждения,
потребовавшие для своей проверки две тысячи лет, является причиной того, почему
Платон и Аристотель столь высоко ценили глубину древних Мистерий. Среди
научного невежества, без помощи современных инструментов, жрецы-философы
открывали истинные основы динамики Вселенной.
Интересным применением пифагорейской доктрины геометрических тел было
расширение ее Платоном в его «Каноне». «Почти все старые философы, - говорит
анонимный писатель, - изобретали гармоничные теории Вселенной, и эта практика
продолжалась до тех пор, пока не умер этот способ философствования». Кеплер
(1596г.) для того, чтобы продемонстрировать платоновскую доктрину, что
Вселенная состоит из пяти правильных тел, предложил следующее правило: «Земля
есть круг, измеритель всего. Вокруг него описывается додекаэдр. Описывающим его
кругом будет Марс. Вокруг Марса описывается тетраэдр, и сфера, его описывающая,
будет Юпитером. Вокруг Юпитера описывается куб, и сфера вокруг него будет
Сатурном. Теперь впишем в Землю икосаэдр, и круг внутри него будет Венерой.
Впишем в Венеру октаэдр, и круг внутри него будет Меркурием» (Misterium
Cosmographikum”. 1596). Это правило не может рассматриваться серьезно как
утверждение о действительных пропорциях Вселенной, поскольку оно никак не
совпадало с соотношениями, выведенными Коперником в начале 16 века. И все же
Кеплер был очень горд своей формулой и говорил, что ценит ее больше, чем
курфюршество Саксонии. Оно также высоко ценилось двумя видными авторитетами,
Тихо Браге и Галилеем, которые, очевидно, понимали его. Кеплер же сам никогда
не дал ни малейшего намека на то, как интерпретировать его драгоценное правило.
Платоновская астрономия не имела дела с материальными составляющими небесных
тел, но рассматривала звезды и планеты главным образом как фокальные точки
Божественного разума. Физическая астрономия рассматривалась как наука о «тенях»,
а философская астрономия - как наука о «реальности».
ПИФАГОР И МУЗЫКА
Как мы познаём окружающий нас реальный мир? Всем нам приходиться полагаться
на свидетельства наших органов чувств: слуха, зрения, осязания, вкуса,
обоняния, когда мы решаем повседневные проблемы или получаем от чего-либо
удовольствие. Однако многие явления окружающего нас реального мира вообще
скрыты от наших органов чувств. Достигнутый же в наше время прогресс знания
составляет лишь мизер того поистине неисчерпаемого множества разнообразных и
важных явлений, которые нам необходимо и желательно знать.
Решающий, гигантский по своим масштабам
и значительный шаг к расширению и приумножению нашего знания внешнего
мира был сделан, когда для изучения его стали применять математику. Математика
не только уточнила и расширила наше знание явлений, доступных органам чувств
человека, но и позволила открыть весьма важные явления, не воспринимаемые нами,
но оттого не менее реальные по их воздействию, чем прикосновение к раскаленной
плите.
Математика как логический вывод и средство познания природы творение
древних греков, которым они начали всерьёз заниматься примерно за шесть веков
до нашей эры. У греков сложилось определенное миропонимание, сущность которого
сводилась к следующему. Природа устроена рационально, а все явления протекают
по точному и неизменному плану, который в конечном счёте является
математическим. Человеческий разум всесилен, и если эту могучую силу приложить
к изучению природы, то лежащий в основе мироздания математический план удастся
раскрыть и познать.
В школе Пифагора получила своё первоначальное оформление математическая
теория музыки. Именно в музыке впервые была обнаружена таинственная
направляющая роль чисел в природе, а родство музыки с арифметикой обогатило
музыку методами построения музыкальной гаммы.
Гармония присутствует везде во Вселенной: и в комбинации ритмов
астрономических тел, согласно которым они обращаются в пространстве, известной
как "музыка сфер”, и в искусстве музыки, которая очищает душу. Гармония
установлена не только на физическом уровне, но также в отношениях между
космическим и моральным порядком. Пифагор ввел обычай применять музыку для
очищения души и практиковал лечение музыкой. Некоторые мелодии были против
угнетающих душу страданий – уныния и терзания, другие – против гнева и злобы, а
третьи – против страстей.
Согласно преданию, сам Пифагор обнаружил, что приятные слуху созвучия
консонансы – получаются лишь в том случае, когда длинны струн, издающих эти
звуки, относятся как целые числа первой
четвёрки, то есть как 1:2, 2:3, 3:4. При этом также было замечено, что чем
меньше число N (N= 1,2,3) тем созвучнее интервал.
Это открытие потрясло Пифагора. Еще бы: ведь столь эфемерные физические
явления как звук, и тем более приятное – созвучие, поддавались численной
характеристике! Именно это открытие
впервые указывало на существование числовых закономерностей в природе, и именно
оно послужило отправной точкой в развитии пифагорейской философии. Вот почему
день, когда было сделано это открытие, немецкий физик А. Зоммерфельд назвал
днём рождения математической физики.
Пифагорейский музыкальный строй, определивший на столетия судьбу европейской
музыки – это математика. Создание логарифмической равномерной двенадцатитоновой
музыкальной шкалы – итог совместной деятельности музыкантов и математиков.
Однако сводя природу музыки к математическим пропорциям, Лейбниц, тем не менее,
высказал совершенно новую мысль: исчисление пропорций, которое совершается при
восприятии музыки, происходит скрытым, неосознанным образом.
После создания точной математической теории струны, после того, как
физики и математики поняли, что любой музыкальный инструмент - «всего – навсего
физико-аккустический прибор – комбинация вибраторов и резонатор», после этого
судьба музыки уже неотделима от математики. Математическому анализу подлежит и
звук, и тембр, и лад, и гармония.
Наряду с математической теорией музыки существует математическая теория
живописи. Это теория перспективы, представляющая, по словам Леонардо да Винчи,
«тончайшее исследование и изобретение, основанное на изучении математики,
которое силою линий заставляло казаться отдаленным то, что близко, и больше то,
что неведомо».
Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании
гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая,
обладающая уникальными свойствами. Она отвечает такому делению целого на две
части, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к
большей части. Эту пропорцию называли по - разному – «золотой», «божественной»,
«золотым сечением», «золотым числом». В эпоху
итальянского Возрождения «золотая» пропорция возводится в ранг главного
эстетического принципа.
Пифагор полагал, что сферы системы мира звучат совершенными
консонансами, т. е. если издаваемый Землёю тон принять за тонику (1), то сфера
Луны звучала бы в тон кварты ( 4/3 ),
сфера Солнца - квинты ( 3 / 2 ), а сфера
звёзд и планет - октавы ( 2 ). Таким
образом, получается аккорд из совершенных консонансов: до – фа – соль – до.
Во все века существовали различные позиционные системы счисления. Каждая
из них имеет свою историю и своё развитие.
В настоящее время мы в основном пользуемся десятичной системой счисления
и считаем ее удобной. Мы же обратимся к той системе, в которой важное значение
имеет число семь. Назвать ее семиричной
нельзя, так как в изображении чисел мы
будем пользоваться всеми знаками десятичной системы счисления. Назовём эту
систему «гармоничной» или «гармонической», учитывая смысл который в ней
кроется.
Условимся, что каждое натуральное число представимо в виде:
X=7n+b, где n=Nb, Nb={0, 1, 2, 3,
4,…}, а b принимает значения: 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7.
Тогда поставим каждому числу в соответствие цвет так, чтобы числу
X = 7n + 1 соответствовал красный
цвет.
X = 7n + 2 соответствовал
оранжевый цвет.
X = 7n + 3 соответствовал желтый
цвет.
X = 7n + 4 соответствовал зелёный
цвет.
X = 7n + 5 соответствовал голубой
цвет.
X = 7n + 6 соответствовал синий
цвет.
X = 7n + 2 соответствовал
фиолетовый цвет.
Кроме того, каждому числу
поставим в соответствие ноту (звук):
X = 7n + 1 – ноту до
X = 7n + 2 – ноту ре
X = 7n + 3 – ноту ми
X = 7n + 4 – ноту фа
X = 7n + 5 – ноту соль
X = 7n + 6 – ноту ля
X = 7n + 7 – ноту си
Во время господства
четырёхструнной меры музыка, бывшая покорной служанкой поэзии, стремилась к «самостоятельности».
Благодаря этому постепенно стали появляться новые инструменты. Их строй нашли,
пользуясь известным со времён Пифагора подобием в простых соотношениях звуков
по квинтам: фа – до – соль – ре – ля –
ми – си.
Присмотритесь к положению каждого последующего звука, начиная от до
в этом ряду квинт. Оно симметрично по отношению к предыдущей и последующей
квинтам. Иначе говоря, фа относится так к до , как до к соль
, до в свою очередь относится к соль
так же, как соль к ре
и т. д. А вот как выражается эта цепочка квинт в числах:
Фа до соль
ре ля ми си
16 8 2 1 3 9 27
27 9 3 2
8 16
Эта симметричная схема уникальна: она наглядно иллюстрирует единственную
возможность визуально – акустического положения звукоклавишной
последовательности: до – ре – ми – фа – соль – ля – си в равновеликих
интер
|
